Question

8．在三角形ABC中，若sin²Ccos2B+$\frac{1}{2}$sin2Csin2B=0，且cos2C+cosC=0，则△ABC是（　　）

• A． 直角非等腰三角形
• B． 等腰非等边三角形
• C． 等腰直角三角形
• D． 等边三角形

Answer 1

分析 cos2C+cosC=0，利用倍角公式可得：2cos²C+cosC-1=0，C∈（0，π），解得cosC=$\frac{1}{2}$，可得C=$\frac{π}{3}$．又sin²Ccos2B+$\frac{1}{2}$sin2Csin2B=0，代入$\frac{3}{4}$cos2B+$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2B=0，化为：$sin（2B+\frac{π}{3}）$=0，由于B∈$（0，\frac{2π}{3}）$，解得B=$\frac{π}{3}$．利用A=π-B-C，可得A，即可判断出结论．

解答 解：∵cos2C+cosC=0，∴2cos²C+cosC-1=0，C∈（0，π），cosC∈（-1，1），解得cosC=$\frac{1}{2}$，∴C=$\frac{π}{3}$．
又∵sin²Ccos2B+$\frac{1}{2}$sin2Csin2B=0，∴$\frac{3}{4}$cos2B+$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2B=0，化为：$sin（2B+\frac{π}{3}）$=0，
∵B∈$（0，\frac{2π}{3}）$，∴$2B+\frac{π}{3}$=π，解得B=$\frac{π}{3}$．
∴A=π-B-C=$\frac{π}{3}$．
∴△ABC是等边三角形．
故选：D．

点评 本题考查了倍角公式、和差公式、三角形内角和定理、等边三角形的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．