Question

8．已知a＞0，b＞0，且a+b=1，求$\frac{2}{a}$+$\frac{4a}{b}$的最小值．

Answer 1

分析 a＞0，b＞0，且a+b=1，可得$\frac{2}{a}$+$\frac{4a}{b}$=$\frac{2（a+b）}{a}$+$\frac{4a}{b}$=2+$\frac{2b}{a}$+$\frac{4a}{b}$，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵a＞0，b＞0，且a+b=1，
∴$\frac{2}{a}$+$\frac{4a}{b}$=$\frac{2（a+b）}{a}$+$\frac{4a}{b}$=2+$\frac{2b}{a}$+$\frac{4a}{b}$≥2+2×2$\sqrt{\frac{b}{a}×\frac{2a}{b}}$=2+4$\sqrt{2}$，当且仅当b=$\sqrt{2}a$=2-$\sqrt{2}$时取等号．
∴$\frac{2}{a}$+$\frac{4a}{b}$的最小值为2+4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．