Question

3．关于x的不等式|x-2|-|x-4|＜a的解集非空，则实数a的取值范围为（-2，+∞）．

Answer 1

分析 |x-2|-|x-4|=$\left\{\begin{array}{l}{2，x＞4}\\{2x-6，2≤x≤4}\\{-2，x＜2}\end{array}\right.$，可得|x-2|-|x-4|∈[-2，2]，根据关于x的不等式f（x）=|x-2|-|x-4|＜a的解集非空，可得：a＞[f（x）]_min．

解答 解：|x-2|-|x-4|=$\left\{\begin{array}{l}{2，x＞4}\\{2x-6，2≤x≤4}\\{-2，x＜2}\end{array}\right.$，
∴|x-2|-|x-4|∈[-2，2]，
∵关于x的不等式|x-2|-|x-4|＜a的解集非空，
∴a＞-2．
∴实数a的取值范围为（-2，+∞）．
故答案为：（-2，+∞）．

点评 本题考查绝对值不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．