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    如图，制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形．由对称性，图中8个三角形都是全等的三角形，设．

    （1）试用表示的面积；

    （2）求八角形所覆盖面积的最大值，并指出此时的大小．

     

    （1）,

    （2）八角形所覆盖面积的最大值为,

    【解析】

    试题分析：探索性情景问题中的条件探索型问题，一般利用函数思想建模，由题意设出未知量，找到对应的等量关系是解决问题的关键所在，故对于（1）设出则，；由可得；对于（2）换元法是解题常用方法，可以减少许多不必要的运算量，提高解题效率，注意换元前后的对等关系，令代入面积表达式可得：.

    （1）设为,∴，

    ，

    ,，

    （2）令，

    只需考虑取到最大值的情况，即为，

    当, 即时, 达到最大

    此时八角形所覆盖面积的最大值为．

    考点：函数建模和函数最值.

     

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    甲、乙、丙三名音乐爱好者参加某电视台举办的演唱技能海选活动，在本次海选中有合格和不合格两个等级．若海选合格记分，海选不合格记分．假设甲、乙、丙海选合格的概率分别为，他们海选合格与不合格是相互独立的．

    （1）求在这次海选中，这三名音乐爱好者至少有一名海选合格的概率；

    （2）记在这次海选中，甲、乙、丙三名音乐爱好者所得分之和为随机变量,求随机变量的分布列和数学期望．

     

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    给定椭圆C： (a＞b＞0)，称圆C1：x2＋y2＝a2＋b2为椭圆C的“伴随圆”．已知椭圆C的离心率为，且经过点(0，1)．

    （1）求实数a，b的值；

    （2）若过点P(0，m)(m＞0)的直线l与椭圆C有且只有一个公共点，且l被椭圆C的伴随圆C1所截得的弦长为2，求实数m的值．

     

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