Question

【题目】在y=2x2上有一点P，它到A（1，3）的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是（ ）
A.（﹣2，1）
B.（1，2）
C.（2，1）
D.（﹣1，2）

Answer 1

【答案】B
【解析】解：把抛物线的解析式y=2x2变为x2= y，
与标准形式x2=2py 对照，知：2p= ．∴p= ．
∴抛物线x2= y的准线方程为L：y=﹣ =﹣ ．
由抛物线定义知：抛物线上任意一点到准线距离等于到焦点距离．
∴点P到焦点的距离等于点P到准线的距离．
分析点A与已知抛物线y=2x2的位置关系：
在y=2x2中，当x=1时，y=2，而点A（1，3）在抛物线内．
过点A作准线的垂线，垂足为B，
设线段AB与抛物线及x轴分别交于点M、点N，
∵AB⊥准线y=﹣ ，而点A的纵坐标为3，
∴AN=3且点M的横坐标与点A的横坐标相同均为1．
把x=1代入y=2x2得y=2，
∴点M的纵坐标为2．
∴点M的坐标为（1，2）．
下面分析“距离之和最小”问题：
在抛物线y=2x2上任取一点P，过P作准线的垂线，垂足为Q，
过P作AB的垂线，垂足为H，
在Rt△PAH中，斜边大于直角边，则|PA|＞|AH|．
在矩形PQBH中，|PQ|=|HB|，
∴|PA|+|PF|（这里设抛物线的焦点为F）
=|PA|+|PQ|＞|AH|+|HB|=|AB|．
即：抛物线上任意一点P到A的距离与它到焦点的距离之和最小为|AB|．
此时点P与点M重合，其坐标为P（1，2）．
故选：B．