Question

【题目】如图，边长为2的正方形ABCD中，

（1）点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A′．求证：A′D⊥EF
（2）当BE=BF= BC时，求三棱锥A′﹣EFD的体积．

Answer 1

【答案】
（1）解：由正方形ABCD知，∠DCF=∠DAE=90°，

∴A'D⊥A'F，A'D⊥A'E，

∵A'E∩A'F=A'，A'E、A'F平面A'EF．

∴A'D⊥平面A'EF．

又∵EF平面A'EF，

∴A'D⊥EF．

（2）解：由四边形ABCD为边长为2的正方形

故折叠后A′D=2，A′E=A′F= ，EF=

则cos∠EA′F= =

则sin∠EA′F=

故△EA′F的面积S△EA′F= A′EA′Fsin∠EA′F=

由（1）中A′D⊥平面A′EF

可得三棱锥A'﹣EFD的体积V= × ×2=

【解析】（1）由正方形ABCD知∠DCF=∠DAE=90°，得A'D⊥A'F且A'D⊥A'E，所以A'D⊥平面A'EF．结合EF平面A'EF，得A'D⊥EF；（2）由勾股定理的逆定理，得△A'EF是以EF为斜边的直角三角形，而A'D是三棱锥D﹣A'EF的高线，可以算出三棱锥D﹣A'EF的体积，即为三棱锥A'﹣DEF的体积．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面垂直的性质的相关知识点，需要掌握垂直于同一个平面的两条直线平行才能正确解答此题．