【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知向量 =( ,﹣ ), =(sinx,cosx),x∈(0, ).
(1)若 ⊥ ,求tanx的值;
(2)若 与 的夹角为 ,求x的值.
【答案】
(1)解:若 ⊥ ,
则 =( ,﹣ )(sinx,cosx)= sinx﹣ cosx=0,
即 sinx= cosx
sinx=cosx,即tanx=1;
(2)解:∵| |= ,| |= =1, =( ,﹣ )(sinx,cosx)= sinx﹣ cosx,
∴若 与 的夹角为 ,
则 =| || |cos = ,
即 sinx﹣ cosx= ,
则sin(x﹣ )= ,
∵x∈(0, ).
∴x﹣ ∈(﹣ , ).
则x﹣ =
即x= + =
【解析】(1)若 ⊥ ,则 =0,结合三角函数的关系式即可求tanx的值;(2)若 与 的夹角为 ,利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求x的值.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用数量积表示两个向量的夹角的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握设、都是非零向量,,,是与的夹角,则.
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【题目】如图,边长为2的正方形ABCD中,
(1)点E是AB的中点,点F是BC的中点,将△AED,△DCF分别沿DE,DF折起,使A,C两点重合于点A′.求证:A′D⊥EF
(2)当BE=BF= BC时,求三棱锥A′﹣EFD的体积.
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【题目】已知椭圆C: =1(a>b>0)的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线x﹣y+ =0相切,过点P(4,0)且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求 的取值范围;
(3)若B点关于x轴的对称点是E,证明:直线AE与x轴相交于定点.
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【题目】函数f(x)=Asin(ωx+φ)+b的图象如图,则f(x)的解析式和S=f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2013)+f(2014)+f(2015)+f(2016)的值分别为( )
A.f(x)= sin x+1,S=2016
B.f(x)= cos x+1,S=2016
C.f(x)= sin x+1,S=2016.5
D.f(x)= cos x+1,S=2016.5
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【题目】在如图的多面体中,EF⊥平面AEB,AE⊥EB,AD∥EF,EF∥BC,BC=2AD=4,EF=3,AE=BE=2,G是BC的中点.
(1)求证:AB∥平面DEG;
(2)求证:BD⊥EG;
(3)求二面角C﹣DF﹣E的余弦值.
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【题目】已知a为正的常数,函数f(x)=|ax﹣x2|+lnx.
(1)若a=2,求函数f(x)的单调递增区间;
(2)设g(x)= ,求g(x)在区间[1,e]上的最小值.(e≈2.71828为自然对数的底数)
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,直线的参数方程是(为参数),以为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,且直线与曲线交于,两点.
(Ⅰ)求曲线的直角坐标方程及直线恒过的定点的坐标;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若,求直线的普通方程.
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