Question

【题目】在如图的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．

（1）求证：AB∥平面DEG；
（2）求证：BD⊥EG；
（3）求二面角C﹣DF﹣E的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AD∥EF，EF∥BC，∴AD∥BC． 又∵BC=2AD，G是BC的中点，

∴ ，

∴四边形ADGB是平行四边形，∴AB∥DG．∵AB平面DEG，DG平面DEG，∴AB∥平面DEG．

（2）证明：∵EF⊥平面AEB，AE平面AEB，∴EF⊥AE，又AE⊥EB，EB∩EF=E，EB，EF平面BCFE，

∴AE⊥平面BCFE． 过D作DH∥AE交EF于H，则DH⊥平面BCFE．∵EG平面BCFE，∴DH⊥EG．

∵AD∥EF，DH∥AE，∴四边形AEHD平行四边形，∴EH=AD=2，∴EH=BG=2，又EH∥BG，EH⊥BE，

∴四边形BGHE为正方形，∴BH⊥EG． 又BH∩DH=H，BH平面BHD，DH平面BHD，∴EG⊥平面BHD．

∵BD平面BHD，∴BD⊥EG．

（3）解：分别以 EB、EF、EA为x轴、y轴、z轴，建立空间坐标系，由已知得

是平面EFDA的法向量．设平面DCF的法向量为n=（x，y，z），∵ ，

∴ ，即 ，令z=1，得n=（﹣1，2，1）． 设二面角C﹣DF﹣E的大小为θ，

则 ，∴二面角C﹣DF﹣E的余弦值为 ．

【解析】（1） 先证明四边形ADGB是平行四边形，可得AB∥DG，从而证明AB∥平面DEG．（2） 过D作DH∥AE交EF于H，则DH⊥平面BCFE，DH⊥EG，再证BH⊥EG，从而可证EG⊥平面BHD，故BD⊥EG．（3）分别以 EB、EF、EA为x轴、y轴、z轴，建立空间坐标系，由已知得 是平面EFDA的法向量．
求出平面DCF的法向量为n=（x，y，z），则由 求得 二面角C﹣DF﹣E的余弦值．
【考点精析】通过灵活运用直线与平面平行的判定和直线与平面垂直的性质，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；垂直于同一个平面的两条直线平行即可以解答此题．