Question

【题目】如图所示，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是梯形，AD∥BC，侧面ABB1A1为菱形，∠DAB=∠DAA1 ．
（Ⅰ）求证：A1B⊥BC；
（Ⅱ）若AD=AB=3BC，∠A1AB=60°，点D在平面ABB1A1上的射影恰为线段A1B的中点，求平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的大小．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）连接AB1、A1D、BD，设AB1交A1B于点O， 连OD，如图所示．

由AA1=AB，∠DAB=∠DAA1 ， 可得△AA1D≌△ABD，
所以A1D=BD，
由于O是线段A1B的中点，所以DO⊥A1B，
又根据菱形的性质知AO⊥A1B，所以A1B⊥平面ADO，
所以A1B⊥AD，又因为AD∥BC，所以A1B⊥BC．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知A1B⊥AB1 ，
又由题意知DO⊥平面ABB1A1 ，
故可分别以射线、射线、射线为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．

设AD=AB=3BC=3a，
由∠A1AB=60°知 ，|OA|=|OB1|= ，
所以|OD|= = ，
从而A（0，﹣ ，0），B（ ，0，0），B1（0， ，0），D（0，0， ），
所以 ．
由 = ，得 ，所以 ．
设平面DCC1D1的一个法向量为 =（x0 ， y0 ， z0），
由 ，得 ，
取y0=1，则 ， ，所以 =（ ）．
又平面ABB1A1的法向量为 ，
所以 ．
故平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的大小为 ．
【解析】（Ⅰ）连接AB1、A1D、BD，设AB1交A1B于点O，连OD，推导出△AA1D≌△ABD，从而DO⊥A1B，由菱形的性质知AO⊥A1B，从而A1B⊥平面ADO，进而A1B⊥AD，再由AD∥BC，能证明A1B⊥BC．（Ⅱ）分别以射线、射线、射线为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的大小．
【考点精析】解答此题的关键在于理解空间中直线与直线之间的位置关系的相关知识，掌握相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点．