Question

【题目】已知函数f（x）= x3+ax2+bx+ （a，b是实数），且f′（2）=0，f（﹣1）=0．
（1）求实数a，b的值；
（2）当x∈[﹣1，t]时，求f（x）的最大值g（t）的表达式．

Answer 1

【答案】
（1）解：f'（x）=x2+2ax+b

∵f'（2）=0，f（﹣1）=0

∴ ，解得

（2）解：由（1）可知，f（x）= ，f'（x）=x2﹣2x=x（x﹣2），

由f'（x）＞0，得x＜0，或x＞2；由f'（x）＜0，得0＜x＜2，

故f（x）在（﹣∞，0）和（2，+∞）单调递增，在（0，2）单调递减，

所以f（x）极小值=f（2）=0，

由 ，得x=﹣1，或x=2；

由 ，得x=0，或x=3．

结合单调性及极值点，画出图像如下：

结合图像，对t分类讨论：

1）﹣1＜t＜0时，f（x）在[﹣1，t]上单调递增， ；

2）0≤t＜3时， ；

3）t≥3时， ．

综上可得，g（t）=

【解析】（1）直接根据f′（2）=0，f（﹣1）=0得到关于a，b的方程组，即可解出a，b的值；（2）利用导数求出f（x）的单调区间，极值点，并通过解方程f（x）= ，得到特殊点（3， ），然后结合函数图像，对t分类讨论，分别求出f（x）的最大值即可．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．