【题目】如图,已知是半径为2的半球
的直径,
为球面上的两点且
,
.
(1)求证:平面平面
;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:(1)作
于点
,连
,由勾股定理及三角形全等得
,根据线面垂直的判定定理得
平面
,进而可得结果;(2)以
为原点,
所在直线分别为
轴,
轴,
轴,建立空间直角坐标系,分别求出平面
与平面的
一个法向量,根据空间向量夹角余弦公式,可得结果.
试题解析:(1)在中,过
作
于点
,连
.
由可知
,且
,
又 ,∴
.
又, ∴
平面
,又
平面
,
∴平面平面
.
(2)由(1)可知两两垂直,故以
为原点,
所在直线分别为
轴,
轴,
轴,如图建立空间直角坐标系,可知
.
设平面的法向量为
,
则,即
, ∴
,
令,则得
, ∴
,
又平面的法向量
, ∴
,
而二面角与
的夹角相等,因此所求的二面角
的余弦值为
.
【方法点晴】本题主要考查利用面面垂直的判定定理以及空间向量求法向量求二面角,属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是:(1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系;(2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;(3)设出相应平面的法向量,利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量;(4)将空间位置关系转化为向量关系;(5)根据定理结论求出相应的角和距离.
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【题目】已知函数f(x)= x3+ax2+bx+
(a,b是实数),且f′(2)=0,f(﹣1)=0.
(1)求实数a,b的值;
(2)当x∈[﹣1,t]时,求f(x)的最大值g(t)的表达式.
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【题目】已知某中学联盟举行了一次“盟校质量调研考试”活动,为了解本次考试学生的某学科成绩情况,从中抽取部分学生的分数(满分为分,得分取正整数,抽取学生的分数均在
之内)作为样本(样本容量为
)进行统计,按照
的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(茎叶图中仅列出了得分在
的数据)
(Ⅰ)求样本容量和频率分布直方图中的
的值;
(Ⅱ)在选取的样本中,从成绩在分以上(含
分)的学生中随机抽取
名学生参加“省级学科基础知识竞赛”,求所抽取的
名学生中恰有一人得分在
内的概率.
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【题目】某大学在开学季准备销售一种盒饭进行试创业,在一个开学季内,每售出1盒该盒饭获利润10元,未售出的产品,每盒亏损5元.根据历史资料,得到开学季市场需求量的频率分布直方图,如图所示.该同学为这个开学季购进了150盒该产品,以(单位:盒,
)表示这个开学季内的市场需求量,
(单位:元)表示这个开学季内经销该产品的利润.
(Ⅰ)根据直方图估计这个开学季内市场需求量的平均数和众数;
(Ⅱ)将表示为
的函数;
(Ⅲ)根据频率分布直方图估计利润不少于1350元的概率.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系
取相同的长度单位,且以原点
为极点,以
轴非负半轴为极轴)中,直线
的方程为
.
(1)求曲线的普通方程及直线
的直角坐标方程;
(2)设是曲线
上的任意一点,求点
到直线
的距离的最大值.
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【题目】数列对于确定的正整数
,若存在正整数
使得
成立,则称数列
为“
阶可分拆数列”.
(1)设 是首项为2,公差为2的等差数列,证明
为“3阶可分拆数列”;
(2)设数列的前
项和为
,若数列
为“
阶可分拆数列”,求实数
的值;
(3)设,试探求是否存在
使得若数列
为“
阶可分拆数列”.若存在,请求出所有
,若不存在,请说明理由.
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【题目】已知函数
(1)求函数 的定义域;
(2)若存在a∈R,对任意 ,总存在唯一x0∈[﹣1,2],使得f(x1)=g(x0)成立.求实数a的取值范围.
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【题目】请先阅读:
在等式cos2x=2cos2x﹣1(x∈R)的两边求导,得:(cos2x)′=(2cos2x﹣1)′,由求导法则,得(﹣sin2x)2=4cosx(﹣sinx),化简得等式:sin2x=2cosxsinx.
(1)利用上题的想法(或其他方法),结合等式(1+x)n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn(x∈R,正整数n≥2),证明: .
(2)对于正整数n≥3,求证:
(i) ;
(ii) ;
(iii) .
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【题目】已知Sn是等差数列{an}的前n项和,且a2=2,S5=15.
(1)求通项公式an;
(2)若数列{bn}满足bn=2an﹣an , 求{bn}的前n项和Tn .
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