Question

【题目】请先阅读：
在等式cos2x=2cos2x﹣1（x∈R）的两边求导，得：（cos2x）′=（2cos2x﹣1）′，由求导法则，得（﹣sin2x）2=4cosx（﹣sinx），化简得等式：sin2x=2cosxsinx．
（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式（1+x）n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn（x∈R，正整数n≥2），证明： ．
（2）对于正整数n≥3，求证：
（i） ；
（ii） ；
（iii） ．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：在等式（1+x）n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn两边对x求导得n（1+x）n﹣1=Cn1+2Cn2x+…+（n﹣1）Cnn﹣1xn﹣2+nCnnxn﹣1

移项得 （*）

（2）

证明：（i）在（*）式中，令x=﹣1，整理得

所以

（ii）由（1）知n（1+x）n﹣1=Cn1+2Cn2x+…+（n﹣1）Cnn﹣1xn﹣2+nCnnxn﹣1，n≥3

两边对x求导，得n（n﹣1）（1+x）n﹣2=2Cn2+32Cn3x+…+n（n﹣1）Cnnxn﹣2

在上式中，令x=﹣1，得0=2Cn2+32Cn3（﹣1）+…+n（n﹣1）Cn2（﹣1）n﹣2

即 ，

亦即 （1）

又由（i）知 （2）

由（1）+（2）得

（iii）将等式（1+x）n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn两边在[0，1]上对x积分

由微积分基本定理，得

所以

【解析】（1）对二项式定理的展开式两边求导数，移项得到恒等式．（2）（i）对（1）中的x 赋值﹣1，整理得到恒等式．（ii）对二项式的定理的两边对x求导数，再对得到的等式对x两边求导数，给x赋值﹣1化简即得证．（iii）对二项式定理的两边求定积分；利用微积分基本定理求出两边的值，得到要证的等式．
【考点精析】本题主要考查了二项式定理的通项公式和类比推理的相关知识点，需要掌握二项式通项公式:；根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理才能正确解答此题．