Question

【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且直线与曲线交于，两点.

（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程及直线恒过的定点的坐标；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若，求直线的普通方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）：,; （Ⅱ）.

【解析】试题分析：

(1)极坐标化为直角坐标可得曲线C的直角坐标方程为，

由直线的参数方程可得直线恒过定点.

(2)将直线方程与椭圆的普通方程联立，结合题意所给的条件可得直线的普通方程为.

试题解析：

（Ⅰ）因为，，所以：.直线恒过定点为.

（Ⅱ）把直线的方程代入曲线的直角坐标方程中得：.

由的几何意义知，，因为点在椭圆内，这个方程必有两个实根，

所以，因为，即，

所以，因为，所以，

因此，直线的方程为.