Question

【题目】某河道中过度滋长一种藻类，环保部门决定投入生物净化剂净化水体. 因技术原因，第t分钟内投放净化剂的路径长度 (单位：m)，净化剂净化水体的宽度 (单位：m)是时间t(单位：分钟)的函数: (由单位时间投放的净化剂数量确定，设为常数，且).

（1）试写出投放净化剂的第t分钟内净化水体面积的表达式；

（2）求的最小值.

Answer 1

【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.

【解析】试题分析:（1）根据题意去掉绝对值写出分段函数的表达式;（2）当40≤t≤60且t∈N*时，S(t)= 在40≤t≤60时单调递减；当t=60时，S(t)有最小值2a2+120．当1≤t＜40且t∈N*时，S(t)= ≥100+a2+20a；①若a=1或2或3时 S(t)在1≤t＜40范围中有最小值a2+2a +100．在40≤t≤60时S(t)有最小值2a2+120．当a=1时，100+a2+20a=121＜122=2a2+120，故S(t)有最小值121；当a=2或a=3时，100+a2+20a＞2a2+120，故S(t)有最小值2a2+120．②若a≥4且1≤t＜40时， S(t+1)=100+a2+t+1+≤S(t)=100+a2+t+， S(t)在1≤t≤60时单调递减．当t=60时，S(t)有最小值2a2+120．

试题解析:（1）由题意， .

（2）当40≤t≤60且t∈N*时，S(t)= ，当t增加时减少，

所以S(t)在40≤t≤60时单调递减；当t=60时，S(t)有最小值2a2+120．

当1≤t＜40且t∈N*时，S(t)= ≥100+a2+20a；

①若a=1或2或3时；当t=10a时，上述不等式中的等号成立，

S(t)在1≤t＜40范围中有最小值a2+2a +100．

又在40≤t≤60时S(t)有最小值2a2+120．

当a=1时，100+a2+20a=121＜122=2a2+120，故S(t)有最小值121；

当a=2或a=3时，100+a2+20a＞2a2+120，故S(t)有最小值2a2+120．

②若a≥4且1≤t＜40时，因为≤0，

所以S(t+1)=100+a2+t+1+≤S(t)=100+a2+t+，

故S(t)在1≤t≤40中单调递减；又S(t)在40≤t≤60时单调递减，

所以S(t)在1≤t≤60时单调递减．

所以，当t=60时，S(t)有最小值2a2+120．

综上，若a=1，当t=10时，S(t)有最小值121；即第10天的销售额最少，为121千元．

若a≥4且a∈N*，当t=60时，S(t)有最小值2a2+120．