Question

【题目】已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c的图像如图，直线y=0在原点处与函数图像相切，且此切线与函数图像所围成的区域（阴影）面积为 ．
（1）求f（x）的解析式
（2）若常数m＞0，求函数f（x）在区间[﹣m，m]上的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由图像知，f（0）=0，得c=0，

f′（x）=3x2+2ax+b，由f′（0）=0，得b=0，

∴f（x）=x3+ax2=x2（x+a），

令f（x）=0，可得x=0或者x=﹣a，

可以得到图像与x轴交点为（0，0），（﹣a，0），

故对﹣f（x）从0到﹣a求定积分即为所求面积，即 [﹣f（x）]dx= ，

∫0﹣a（﹣x3﹣ax2）dx= ，解得a=﹣3．

∴f（x）=x3﹣3x2

（2）解：由（1）知f'（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2）．则x，f'（x），f（x）的取值变化情况如下表：

x	（﹣∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
f'（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	单调递增	极大值f（0）=0	单调递减	极小值f（2）=﹣4	单调递增

又f（3）=0，

①当0＜m≤3时，f（x）max=f（0）=0；

②当m＞3时， ．

综上可知

【解析】（1）根据图像所过点（0，0），及y=0与在原点处与函数图像相切可求b，c，由题目中给出了区域的面积，我们可以从定积分着手，求出函数以及函数与x轴的交点，建立方程可求解参数．（2）利用导数求出函数的极值，求出函数的零点，分0＜m≤3，m＞3两种情况进行讨论，借助图像可求得函数的最大值；