Question

【题目】如图，四棱锥中，底面是矩形，平面 平面，且是边长为的等边三角形， ，点是的中点.

（1）求证： 平面 ；

（2）点 在 上，且满足 ，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：

(1)利用题意证得 ，然后结合线面平行的判断定理即可证得平面.

(2)建立空间直角坐标系，利用平面向量的法向量和直线的方向向量可求得直线与平面所成角的正弦值为.

试题解析：

解：(1)连 交 于点， 连 ，因为四边形 是矩形，所以点是 的中点，又点 是 的中点， ，又 平面 平面 ，所以平面.

(2)取 的中点，则 ，又平面 底面，平面 底面 ，故平面，连接 ，在 中， ，所以在 中， ，以 为原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，则，设，则由 得 ，即，设平面的法向量 ，则 ，得 ，令 ，则 ，故 ，又 ，设直线与平面所成角为 ，则

，故直线与平面所成角的正弦值为 .