【题目】如图,四棱锥中,底面
是矩形,平面
平面
,且
是边长为
的等边三角形,
,点
是
的中点.
(1)求证: 平面
;
(2)点 在
上,且满足
,求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:
(1)利用题意证得 ,然后结合线面平行的判断定理即可证得
平面
.
(2)建立空间直角坐标系,利用平面向量的法向量和直线的方向向量可求得直线与平面
所成角的正弦值为
.
试题解析:
解:(1)连 交
于点
, 连
,因为四边形
是矩形,所以点
是
的中点,又点
是
的中点,
,又
平面
平面
,所以
平面
.
(2)取 的中点
,则
,又平面
底面
,平面
底面
,故
平面
,连接
,在
中,
,所以在
中,
,以
为原点,
所在直线分别为
轴,
轴,
轴建立空间直角坐标系,则
,设
,则由
得
,即
,设平面
的法向量
,则
,得
,令
,则
,故
,又
,设直线
与平面
所成角为
,则
,故直线
与平面
所成角的正弦值为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】一个盒子装有六张卡片,上面分别写着如下六个函数: .
(I)判断这个函数的奇偶性;
(II)从中任意拿取两张卡片,若其中至少有一张卡片上写着的函数为奇函数.在此条件下,求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c,则下列命题:
①若ab>c2 , 则C ;
②若a+b>2c,则C ;
③若a3+b3=c3 , 则C ;
④若(a+b)c<2ab,则ab>c2;
⑤若(a2+b2)c2<2a2b2 , 则C .
其中正确命题是(写出所有正确命题的序号).
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图是一块地皮,其中
,
是直线段,曲线段
是抛物线的一部分,且点
是该抛物线的顶点,
所在的直线是该抛物线的对称轴.经测量,
km,
km,
.现要从这块地皮中划一个矩形
来建造草坪,其中点
在曲线段
上,点
,
在直线段
上,点
在直线段
上,设
km,矩形草坪
的面积为
km2.
(1)求,并写出定义域;
(2)当为多少时,矩形草坪
的面积最大?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数,
,
,且
的最小值为
.
(1)求的值;
(2)若不等式对任意
恒成立,其中
是自然对数的底数,求
的取值范围;
(3)设曲线与曲线
交于点
,且两曲线在点
处的切线分别为
,
.试判断
,
与
轴是否能围成等腰三角形?若能,确定所围成的等腰三角形的个数;若不能,请说明理由.
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【题目】如图,边长为2的正方形ABCD中,
(1)点E是AB的中点,点F是BC的中点,将△AED,△DCF分别沿DE,DF折起,使A,C两点重合于点A′.求证:A′D⊥EF
(2)当BE=BF= BC时,求三棱锥A′﹣EFD的体积.
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【题目】如图所示,已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=4,E是棱CC1上的点,且BE⊥B1C.
(1)求CE的长;
(2)求证:A1C⊥平面BED;
(3)求A1B与平面BDE夹角的正弦值.
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【题目】设函数F(x)= ,其中f(x)=log2(x2+1),g(x)=log2(|x|+7).
(1)在实数集R上用分段函数形式写出函数F(x)的解析式;
(2)求函数F(x)的最小值.
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