Question

7．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，BC=2，PA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，E为BC的中点．
（1）证明：PE⊥ED；
（2）求二面角E-PD-A的大小．

Answer 1

分析 （1）在△ABC中，由题意可得△ABE为正三角形，则AE=1，在△AED中，求解三角形可得AE⊥ED．然后利用线面垂直的判定可得ED⊥平面PAE，从而得到PE⊥ED；
（2）由PA⊥平面ABCD，得平面PAD⊥平面ABCD，然后找出二面角E-PD-A的平面角．求解三角形可得二面角E-PD-A的大小．

解答 （1）证明：如图，
在△ABC中，∵AB=1，BC=2，AB⊥AC，
∴cosB=$\frac{1}{2}$，$∠\\;=60°$B=60°，又E为BC的中点，
∴△ABE为正三角形，则AE=1，
在△AED中，∵AE=1，AD=2，∠EAD=60°，
∴$E{D}^{2}={1}^{2}+{2}^{2}-2×1×2×\frac{1}{2}=3$，
∴AE²+ED²=AD²，则AE⊥ED．
又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥ED，
∵PA∩AE=A，∴ED⊥平面PAE，则PE⊥ED；
（2）解：∵PA⊥平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，
过E作EG⊥AD，垂足为G，则EG⊥平面PAD，∴EG⊥PD，
过G作GH⊥PD，垂足为H，连接EH，
∴PD⊥平面EGH，则PD⊥EH．
则∠EHG为二面角E-PD-A的平面角．
在Rt△AED中，由AE=1，AD=2，ED=$\sqrt{3}$，可得EG=$\frac{AE•ED}{AD}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴GD=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}=\frac{3}{2}$，
由△PAD∽△GHD，可得$\frac{GH}{GD}=\frac{PA}{PD}$，即GH=$\frac{PA•GD}{PD}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}•\frac{3}{2}}{\sqrt{（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}+{2}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$．
∴tan$∠EHG=\frac{EG}{GH}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$，即∠EHG=60°．
∴二面角E-PD-A的大小为60°．

点评 本题考查空间中直线与直线的位置关系，考查空间角的求法，关键是找出二面角的平面角，是中档题．