Question

已知点P是边长为1的正三角形内一点，该点到三角形三边的距离分别是a，b，c（a，b，c＞0），则ab+bc+ca的取值范围是（　　）

• A、（0，

  1

  4

  ]
• B、（0，

  1

  2

  ]
• C、（0，

  3

  2

  ]
• D、[

  1

  4

  ，1]

Answer 1

考点：余弦定理

专题：解三角形

分析：利用三角形的面积计算公式可得

1

2

×a×1+

1

2

×b×1+

1

2

×c×1=

1

2

×1×

3

2

，即a+b+c=

3

2

．再利用（a+b+c）²≥3（ab+ac+bc），即可得出．

解答： 解：∵

1

2

×a×1+

1

2

×b×1+

1

2

×c×1=

1

2

×1×

3

2

，
∴a+b+c=

3

2

．
∵（a+b+c）²≥3（ab+ac+bc），
∴ab+bc+ca≤

1

3

×(

3

2

)2=

1

4

．
又ab+bc+ca＞0．
∴ab+bc+ca的取值范围是(0，

1

4

]．
故选；A．

点评：本题考查了等边三角形的面积计算公式、不等式的性质，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．