Question

8．设x＞0，y＞0，定义x?y=$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$，则[（x?y）²+2（x?y）（y?x）]_max等于（　　）

• A． $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
• B． $\frac{3+\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{2+\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{1+\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 根据新定义求出（x?y）²+2（x?y）（y?x）的表达式并进行化简，利用换元法构造函数z，求出函数z的导数、单调区间和极大值，即可求出原函数的最大值．

解答 解：由题意得，x＞0，y＞0，定义x?y=$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$，
∴（x?y）²+2（x?y）（y?x）=$（\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}）^{2}$+2$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}•\frac{y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$
=$\frac{{x}^{2}+2xy}{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{1+\frac{2y}{x}}{1+（\frac{y}{x}）^{2}}$，
设t=$\frac{y}{x}$，则t＞0，代入上式可得z=$\frac{1+2t}{1+{t}^{2}}$，
则z′=$\frac{（1+2t）′（1+{t}^{2}）-（1+2t）（1+{t}^{2}）′}{（1+{t}^{2}）^{2}}$=$\frac{2（1-t-{t}^{2}）}{{（1+{t}^{2}）}^{2}}$=$\frac{2[-（{t+\frac{1}{2}）}^{2}+\frac{5}{4}]}{{（1+{t}^{2}）}^{2}}$，
由z′=0得1-t-t²=0，解得t=$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$或$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，
∵t＞0，∴t=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，
∴当$t∈（0，\frac{-1+\sqrt{5}}{2}）$时，z′＞0；当$t∈（\frac{-1+\sqrt{5}}{2}，+∞）$时，z′＜0，
∴函数z=$\frac{1+2t}{1+{t}^{2}}$在$（0，\frac{-1+\sqrt{5}}{2}）$上递增，在$（\frac{-1+\sqrt{5}}{2}，+∞）$上递减，
则当t=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$时，函数z取到极大值也是最大值，z=$\frac{1+2×\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}{1+{（\frac{-1+\sqrt{5}}{2}）}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5-\sqrt{5}}$=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
∴（x?y）²+2（x?y）（y?x）的最大值是$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
故选：A．

点评 本题考查新定义的应用，利用导数研究函数的单调区间和极大值，以及换元法求出函数最值中的应用，考查化简、变形能力，属于中档题．