Question

6．设命题p：?x₀∈R，${x_0}^2+2m{x_0}+2+m=0$，
命题q：方程$\frac{{x}^{2}}{1-2m}$+$\frac{{y}^{2}}{m+2}$=1表示双曲线
（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题q为真命题，求实数m的取值范围；
（3）求使“p∨q”为假命题的实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据二次根式的性质求出m的范围即可；（2）根据双曲线的定义求出m的范围即可；（3）根据p，q都是假命题得到关于m的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）当命题p为真命题时，方程x₀²+2mx₀+2-m=0有解，
∴△=4m²-4（2+m）≥0，解得m≤-1，或m≥2；
∴实数m的取值范围是{m|m≤-1，或m≥2}；（3分）
（2）当命题q为真命题时，方程$\frac{{x}^{2}}{1-2m}$+$\frac{{y}^{2}}{m+2}$=1表示双曲线，
∴（1-2m）（m+2）＜0，解得m＜-2，或m＞$\frac{1}{2}$，
∴实数m的取值范围是{m|m＜-2，或m＞$\frac{1}{2}$}；   …（6分）
（3）当“p∨q”为假命题时，p，q都是假命题，
∴$\left\{\begin{array}{l}-1＜m＜2\\-2≤m≤\frac{1}{2}\end{array}\right.$，解得-1＜m≤$\frac{1}{2}$；
∴m的取值范围为（-1，$\frac{1}{2}$]．    …（12分）

点评 本题考查了复合命题的判断，考查二次函数以及双曲线的定义，是一道中档题．