Question

15．已知a，b∈（0，+∞），且$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$=$\frac{1}{12}$，则9^a•3^b的最小值为（　　）

• A． 3⁵⁴
• B． 3²⁷
• C． 54
• D． 27

Answer 1

分析 根据条件可得到$\frac{12}{a}+\frac{6}{b}=1$，从而可得出2a+b=$30+\frac{12a}{b}+\frac{12b}{a}$，而根据基本不等式可以求出$\frac{12a}{b}+\frac{12b}{a}$的最小值，从而得出2a+b的最小值，而9^a•3^b=3^2a+b，这样根据指数函数的单调性即可求出9^a•3^b的范围，从而得出其最小值．

解答 解：由$\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}=\frac{1}{12}$得，$\frac{12}{a}+\frac{6}{b}=1$；
又a，b∈（0，+∞）；
∴$2a+b=（2a+b）（\frac{12}{a}+\frac{6}{b}）$
=$24+\frac{12a}{b}+\frac{12b}{a}+6$
≥30+2×12=54，当$\frac{12a}{b}=\frac{12b}{a}$，即a=b=18时取“=”；
∴9^a•3^b=3^2a•3^b=3^2a+b≥3⁵⁴；
∴9^a•3^b的最小值为3⁵⁴．
故选：A．

点评 考查基本不等式在求最小值中的应用，注意应用基本不等式所具备的条件，并判断等号能否取到，以及指数式的运算，指数函数的单调性．