Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁=，a_n+2S_nS_n-1=0（n≥2）．
（1）判断是否为等差数列？并证明你的结论；
（2）求S_n和a_n；
（3）求证：．

Answer 1

解：（1）S₁=a₁=，∴
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-2S_nS_n-1，∴
∴为等差数列，首项为2，公差为2…（4分）
（2）由（1）知=2+（n-1）×2=2n，∴…（6分）
当n≥2时，
∴…（9分）
（3）==…（13分）
分析：（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-2S_nS_n-1，两边同除以S_nS_n-1，可得，从而可得为等差数列；
（2）由（1）知是以首项为2，公差为2的等差数列，从而可得S_n，利用a_n+2S_nS_n-1=0（n≥2），可求a_n；
（3）利用，表示S₁²+S₂²+…+S_n²，利用放缩法变为，从而利用裂项法求和，即可证得．
点评：本题的考点是数列与不等式的综合，主要考查数列的通项的求解，关键是利用当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，巧妙构建新数列，同时考查放缩法，考查裂项法求和，有一定的综合性．