Question

已知数列{a_n}满足a_n=1，

1，n=1 kan-1+2，n＞1

，则
（1）当k=1时，求数列{a_n}的前n项和s_n；
（2）当k=2时，证明数列{a_n+2}是等比数列．

Answer 1

考点：等比数列的性质,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据题意可得当n＞1时，a_n-a_n-1=2，判断出数列{a_n}是等差数列，代入前n项和公式化简；
（2）根据题意得当n＞1时，a_n=2a_n-1+2，代入

an+2

an-1+2

化简得到常数，可证明数列{a_n+2}是等比数列．

解答： 解：（1）由题意得，an=

1，n=1 kan-1+2，n＞1

，
当k=1时，则当n＞1时，a_n-a_n-1=2，
则数列{a_n}是以1为首项，以2为公差的等差数列，
所以s_n=n+

n(n-1)

2

×2=n²；
（2）当k=2时，则当n＞1时，a_n=2a_n-1+2，
所以

an+2

an-1+2

=

2an-1+4

an-1+2

=2，
则数列{a_n+2}是以2为公比的等比数列．

点评：本题考查等差数列、等比数列的定义的应用，以及等差数列前n项和公式，属于中档题．