Question

5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，cos2C+2$\sqrt{2}$cosC+2=0．
（1）求角C的大小；
（2）若△ABC的面积为$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinAsinB，求c的值．

Answer 1

分析 （1）由二倍角公式，代入即可求得cosC=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，由0＜C＜π，则C=$\frac{3π}{4}$；
（2）由三角形的面积公式，代入根据正弦定理即可求得R，由c=2Rsinc，即可求得c的值．

解答 解：（1）由cos2C=2cos²C-1，
则2cos²C-1+2$\sqrt{2}$cosC+2=0，整理得：2cos²C+2$\sqrt{2}$cosC+1=0，
∴（$\sqrt{2}$cosC+1）²=0，cosC=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由0＜C＜π，则C=$\frac{3π}{4}$，
∴角C为$\frac{3π}{4}$；
（2）由△ABC的面积S，S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinAsinB，则$\frac{1}{2}$ab×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinAsinB，
整理得：$\frac{a}{sinA}$×$\frac{b}{sinB}$=2
由正弦定理可知：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2R，（R为外接圆半径），
则4R²=2，解得：R=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
c=2Rsinc=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=1，
∴c的值为1．

点评 本题考查二倍角公式，特殊角的三角形函数值，正弦定理的应用，考查计算能力，属于中档题．