Question

17．在极坐标系中，圆C的方程为ρ=4cosθ，以极点为坐标原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l经过点M（5，6），且斜率为$\frac{4}{3}$．
（1）求圆 C的平面直角坐标方程和直线l的参数方程；
（2）若直线l与圆C交于A，B两点，求|MA|+|MB|的值．

Answer 1

分析 （1）由ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，能求出圆C的平面直角坐标方程，由直线l经过点M（5，6），且斜率为$\frac{4}{3}$，能求出直线l的参数方程．
（2）把直线l的参数方程代入圆C：（x-2）²+y²=4，得5t²+66t+205=0，由此能求出|MA|+|MB|的值．

解答 解：（1）∵圆C的方程为ρ=4cosθ，∴ρ²=4ρcosθ，
∵ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，
∴圆C的平面直角坐标方程为：（x-2）²+y²=4，
∵直线l经过点M（5，6），且斜率为$\frac{4}{3}$，
∴tanθ=$\frac{4}{3}$，cos$θ=\frac{3}{5}$，sinθ=$\frac{4}{5}$，
∴直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=5+\frac{3}{5}t\\ y=6+\frac{4}{5}t\end{array}\right.（t$为参数 ）．
（2）把直线l的参数方程代入圆C：（x-2）²+y²=4，
得：5t²+66t+205=0，
∴$|{MA}|+|{MB}|=|{t_1}|+|{t_2}|=|{{t_1}+{t_2}}|=\frac{66}{5}$．

点评 本题考查圆的直角坐标方程、直线的参数方程的求法，考查两线段和的求法，考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．