Question

已知函数f（x）＝ax²+bx+c，其中a∈N^*，b∈N，c∈Z。

（1）若b>2a，且f（sinx）（x∈R）的最大值为2，最小值为-4，试求函数f（x）的最小值；

（2）若对任意实数x，不等式4x≤f（x）≤2（x²+1）恒成立，且存在x₀，使得f（x₀）<2（x₀²+1）成立，求c的值。

Answer 1

（1）f（x）＝x²＋3x－2，最小值为－17/4。

（2）c＝1。

（1）由函数f（x）的图像开口向上，对称轴x＝－b/2a<－1知，f（x）在[－1，1]上为增函数，故f（1）＝a＋b＋c＝2，f（－1）＝a－b＋c＝－4，∴b＝3，a＋c＝－1。又b>2a，故a＝1，c＝－2。∴f（x）＝x²＋3x－2，最小值为－17/4。
（2）令x＝1，代入不等式4x≤f（x）≤2（x²＋1）得f（1）＝4，即a＋b＋c＝4，从而b＝4－a－c。又4x≤f（x）恒成立，得ax²＋（b－4）x＋c≥0恒成立，故△＝（b－4）²－4ac≤0，∴a＝c。又b≥0，a＋c≤4，∴c＝1或c＝2。当c＝2时，f（x）＝2x²＋2，此时不存在满足题意的x₀。当c＝1时满足条件，故c＝1。