Question

6．设$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$满足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-$\frac{1}{2}$，且$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$的夹角为60°，则|$\overrightarrow{c}$|的最大值是2．

Answer 1

分析 由题意易得向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为120°，设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，易证A、O、B、C四点共圆，由正弦定理和圆的知识可得结论．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-$\frac{1}{2}$，
∴向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为120°，
设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，
则$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$，
则∠ACB=60°，∴∠AOB+∠ACB=180°，
∴A、O、B、C四点共圆，
∵$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$，∴|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}）^{2}}$=$\sqrt{3}$，
由正弦定理可得外接圆直径2R=$\frac{AB}{sin∠ACB}$=2，
当OC为直径时，|$\overrightarrow{c}$|取最大值2
故答案为：2

点评 本题考查数量积与向量的夹角，涉及正弦定理和圆的知识，属中档题．