Question

11．（1）已知a＞0，b＞0，x＞0，y＞0，证明：$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$≥$\frac{（\sqrt{x}+\sqrt{y}）^{2}}{a+b}$；
（2）若2x²+y²=1，求$\frac{9}{2{x}^{2}}$+$\frac{1}{{y}^{2}}$的最小值；
（3）若当0＜x＜$\frac{1}{2}$时，关于x的不等式$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{1-2x}$≥m²+8m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由a＞0，b＞0，x＞0，y＞0，则（a+b）（$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$）展开后，运用基本不等式，即可得到；
（2）运用（1）的结论，结合条件，即可得到最小值16；
（3）关于x的不等式$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{1-2x}$≥m²+8m恒成立，即有（$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{1-2x}$）_min≥m²+8m，运用（1）的结论，可得最小值9，再由二次不等式的解法，即可得到所求范围．

解答 解：（1）证明：由a＞0，b＞0，x＞0，y＞0，
则（a+b）（$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$）=x+y+$\frac{bx}{a}$+$\frac{ay}{b}$≥x+y+2$\sqrt{\frac{bx}{a}•\frac{ay}{b}}$=x+y+2$\sqrt{xy}$
=（$\sqrt{x}$+$\sqrt{y}$）²．当且仅当a$\sqrt{y}$=b$\sqrt{x}$，取得等号．
即有$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$≥$\frac{（\sqrt{x}+\sqrt{y}）^{2}}{a+b}$；
（2）由2x²+y²=1，结合（1）的结论，$\frac{9}{2{x}^{2}}$+$\frac{1}{{y}^{2}}$≥$\frac{（3+1）^{2}}{2{x}^{2}+{y}^{2}}$=16，
当且仅当$\sqrt{2}$x=$\sqrt{3}$y，取得最小值16；
（3）关于x的不等式$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{1-2x}$≥m²+8m恒成立，即有
（$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{1-2x}$）_min≥m²+8m，
由（1）的结论可得$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{1-2x}$=$\frac{4}{2x}$+$\frac{1}{1-2x}$≥$\frac{（2+1）^{2}}{2x+1-2x}$=9．
当且仅当2x=2（1-2x），即为x=$\frac{1}{3}$时，取得最小值9．
即有9≥m²+8m，解得-9≤m≤1．
则实数m的取值范围是[-9，1]．

点评 本题考查基本不等式的运用：求最值，注意等号成立的条件，以及变形的运用，同时考查不等式恒成立思想，属于中档题和易错题．