Question

3．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=1，且|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{7}$．
（1）求$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$及$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{a}$方向上的射影；
（2）求2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$夹角θ的余弦值．

Answer 1

分析 （1）把|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{7}$两边平方代入已知数据可求$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，进而代入可得射影|$\overrightarrow{b}$|cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|}$的值；
（2）由题意可得|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|和（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$），由夹角公式可得．

解答 解：（1）∵|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=1，且|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{7}$，
∴（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）²=7，∴${\overrightarrow{a}}^{2}$-4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+4${\overrightarrow{b}}^{2}$=7，
代入数据可得4-4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+4=7，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{a}$方向上的射影|$\overrightarrow{b}$|cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|}$=$\frac{1}{8}$；
（2）由题意可得|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}}$=$\sqrt{4{\overrightarrow{a}}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}}$
=$\sqrt{4×4+4×\frac{1}{4}+1}$=3$\sqrt{2}$，
（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）=2${\overrightarrow{a}}^{2}$-3$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-2${\overrightarrow{b}}^{2}$=8-$\frac{3}{4}$-2=$\frac{21}{4}$，
∴cosθ=$\frac{（\overrightarrow{2a}+\overrightarrow{b}）•（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}）}{|2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}||\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}|}$=$\frac{21}{4×3\sqrt{2}×\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{14}}{8}$

点评 本题考查数量积与向量的夹角，涉及模长公式和夹角公式以及射影，属中档题．