Question

14．在正三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，AB=AA₁=1，边AB上有一点P，锐二面角P-A₁C₁-B₁与P-B₁C₁-A₁的大小分别为α、β，则tan（α+β）的最小值为-$\frac{8\sqrt{3}}{13}$．

Answer 1

分析 设AP=x，则PB=1-x，先利用条件以及正三棱柱的性质，二面角的平面角的定义求出tanα和tanβ的值，再利用两角和的正切公式求得tan（α+β）的解析式，从而求得它的最小值．

解答 解：如图所示：作PP₁⊥A₁B₁，P₁ 为垂足； P₁M⊥A₁C₁，M为垂足，P₁N⊥B₁C₁，N为垂足，
则由题意可得α=∠PMP₁，β=∠PNP₁．
设AP=x，则PB=1-x，MP₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，NP₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（1-x），
故tanα=$\frac{{PP}_{1}}{{MP}_{1}}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}x}{2}}$=$\frac{2}{x\sqrt{3}}$  tanβ=$\frac{{PP}_{1}}{{NP}_{1}}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}（1-x）}{2}}$=$\frac{2}{\sqrt{3}（1-x）}$，
故tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanα•tanβ}$=$\frac{\frac{2}{x\sqrt{3}}+\frac{2}{\sqrt{3}（1-x）}}{1-\frac{2}{x\sqrt{3}}•\frac{2}{\sqrt{3}（1-x）}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3x（1-x）-4}$，
故当x=$\frac{1}{2}$时，3x（1-x）-4取得最大值为-$\frac{13}{4}$，tan（α+β）=$\frac{2\sqrt{3}}{3x（1-x）-4}$ 取得最小值为-$\frac{8\sqrt{3}}{13}$．

点评 本题主要考查正三棱柱的性质，二面角的平面角的定义及求法，两角和的正切公式的应用，属于中档题．