Question

关于函数f（x）=4sin（2x+

π

3

）（x∈R），有下列命题：其中正确的序号为

 

①若f（x₁）=f（x₂）=0，则x₁-x₂必是π的整数倍；
②y=f（x）的表达式可改写为y=4cos（2x-

π

6

）；
③y=f（x）的图象关于点（-

π

3

，0）对称；
④y=f（x）的图象向右平移

5π

12

个单位后的图象所对应的函数是偶函数；
⑤当x=-

5π

12

+kπ，k∈Z时，函数有最小值-4．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：①由f（x₁）=f（x₂）=0，可得4sin(2x1+

π

3

)=0，4sin(2x2+

π

3

)=0．利用三角函数的性质可得x1-x2=

k1-k2

2

π，（k₁，k₂∈Z），即可判断出；
②利用诱导公式可得f（x）=4cos[

π

2

-(2x+

π

3

)]，即可判断出；
③由于f（-

π

3

）≠0，可得函数f（x）的图象关于点（-

π

3

，0）不对称；
④y=f（x）的图象向右平移

5π

12

个单位后的图象所对应的函数是y=4sin[2(x-

5π

12

)+

π

3

]=-4cos2x，即可判断出其奇偶性；
⑤计算函数f(-

5π

12

+kπ)=4sin(-

π

2

)=-4，即可判断出．

解答： 解：①∵f（x₁）=f（x₂）=0，∴4sin(2x1+

π

3

)=0，4sin(2x2+

π

3

)=0．
∴2x1+

π

3

=k1π，2x2+

π

3

=k2π，（k₁，k₂∈Z）．
∴x1-x2=

k1-k2

2

π不一定是π的整数倍，
因此①不正确；
②y=f（x）=4sin（2x+

π

3

）=4cos[

π

2

-(2x+

π

3

)]=4cos(2x-

π

6

)，因此正确；
③∵f（-

π

3

）=4sin(-

π

3

×2+

π

3

)=4sin(-

π

3

)≠0，∴函数f（x）的图象关于点（-

π

3

，0）不对称，不正确；
④y=f（x）的图象向右平移

5π

12

个单位后的图象所对应的函数是y=4sin[2(x-

5π

12

)+

π

3

]=-4cos2x是偶函数，正确；
⑤当x=-

5π

12

+kπ，k∈Z时，函数f(-

5π

12

+kπ)=4sin[2(-

5π

12

+kπ)+

π

3

]=4sin(-

π

2

)=-4，函数f（x）有最小值-4．正确．
综上可知：只有②④⑤正确．
故答案为：②④⑤．

点评：本题考查了三角函数的图象和性质，考查了解决问题的能力，属于中档题．