Question

给出下列四个命题，其中真命题为

 

．
①“?x₀∈R，使得x₀²+1＞3x₀”的否定是“?x∈R，都有x²+1≤3x”；
②“m=-2”是“直线（m+2）x+my+1=0与直线（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”的必要不充分条件；
③设圆x²+y²+Dx+Ey+F=0（D²+E²-4F＞0）与坐标轴有4个交点，分别为A（x₁，0），B（x₂，0），C（0，y₁），D（0，y₂），则x₁x₂-y₁y₂=0；
④函数f（x）=sinx-x的零点个数有2个．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：直接写出特称命题的否定判断①；
由m=-2得到直线（m+2）x+my+1=0与直线（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直，由此得到命题②错误；
分别取y=0和x=0，由根与系数关系求得x₁x₂，y₁y₂，由差的结果判断③；
利用函数的导函数判断函数f（x）=sinx-x在(0，

π

2

)上的单调性，结合函数奇偶性分析函数f（x）=sinx-x的零点个数．

解答： 解：对于①，“?x₀∈R，使得x₀²+1＞3x₀”为特称命题，其否定是全称命题“?x∈R，都有x²+1≤3x”，命题①正确；
对于②，m=-2时，直线（m+2）x+my+1=0化为y=

1

2

，直线（m-2）x+（m+2）y-3=0化为x=-

3

4

，
∴“m=-2”是“直线（m+2）x+my+1=0与直线（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”的充分条件，命题②错误；
对于③，当y=0时，圆x²+y²+Dx+Ey+F=0化为x²+Dx+F=0，x₁x₂=F．
当x=0时，圆x²+y²+Dx+Ey+F=0化为y²+Ey+F=0，y₁y₂=F．
∴x₁x₂-y₁y₂=F-F=0．命题③正确；
对于④，∵x∈(0，

π

2

)时，函数f（x）=sinx-x的导数f′（x）=cosx-1＜0，
∴f（x）＜f（0）=0，
∴sinx＜x，则只有x=0时sin0=0，
又函数y=sinx与y=x均为奇函数，
∴函数y=sinx的图象与函数y=x的图象只有1个公共点，即函数f（x）=sinx-x的零点个数有1个．
命题④错误．
∴真命题为①③．
故答案为：①③．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查了特称命题否定的写法，考查了利用直线的一般式方程判断直线的垂直关系，训练了函数零点个数的判断，是中档题．