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过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作直线与抛物线交于A、B两点,以AB为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是(  )
A.相交B.相切
C.相离D.与p的取值相关
取AB的中点M,分别过A、B、M作准线的垂线AP、BQ、MN,垂足分别为P、Q、N,如图所示:
由抛物线的定义可知,|AP|=|AF|,|BQ|=|BF|,
在直角梯形APQB中,|MN|=
1
2
(|AP|+|BQ|)=
1
2
(|AF|+|BF|)=
1
2
|AB|,
故圆心M到准线的距离等于半径,
∴以AB为直径的圆与抛物线的准线相切,
故选B.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

已知过抛物线x2=4y的焦点,斜率为k(k>0)的直线l交抛物线于A(x1,y2),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=8.
(1)求直线l的方程;
(2)若点C(x3,y3)是抛物线弧AB上的一点,求△ABC面积的最大值,并求出点C的坐标.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,椭圆C:x2+3y2=3b2(b>0).
(1)求椭圆C的离心率;
(2)若b=1,A,B是椭圆C上两点,且|AB|=
3
,求△AOB面积的最大值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,已知抛物线y2=4x的焦点为F.过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直线AF,BF分别与抛物线交于点M,N.
(Ⅰ)求y1y2的值;
(Ⅱ)记直线MN的斜率为k1,直线AB的斜率为k2.证明:
k1
k2
为定值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,A、B分别是椭圆
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)
的上、下两顶点,P是双曲线
y2
a2
-
x2
b2
=1
上在第一象限内的一点,直线PA、PB分别交椭圆于C、D点,如果D恰是PB的中点.
(1)求证:无论常数a、b如何,直线CD的斜率恒为定值;
(2)求双曲线的离心率,使CD通过椭圆的上焦点.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过F且斜率为
3
直线与抛物线在x轴上方的交点为M,过M作y轴的垂线,垂足为N,O为坐标原点,若四边形OFMN的面积为4
3

(1)求抛物线的方程;
(2)若P,Q是抛物线上异于原点O的两动点,且以线段PQ为直径的圆恒过原点O,求证:直线PQ过定点,并指出定点坐标.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

在椭圆
x2
16
+
y2
9
=1
内,有一内接三角形ABC,它的一边BC与长轴重合,点A在椭圆上运动,则△ABC的重心的轨迹方程为______.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

过双曲线x2-y2=1上一点Q作直线x+y=2的垂线,垂足为N,则线段QN的中点P的轨迹方程为(  )
A.2x2-2y2-2x-1=0B.x2+y2=1
C.2x2+2y2-y=0D.2x2-2y2-2x+2y-1=0

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知抛物线x2=4
3
y
的准线过双曲线
x2
m2
-y2=-1
的一个焦点,则双曲线的离心率为(  )
A.
3
2
4
B.
6
2
C.
3
D.
3
3

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