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已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过F且斜率为
3
直线与抛物线在x轴上方的交点为M,过M作y轴的垂线,垂足为N,O为坐标原点,若四边形OFMN的面积为4
3

(1)求抛物线的方程;
(2)若P,Q是抛物线上异于原点O的两动点,且以线段PQ为直径的圆恒过原点O,求证:直线PQ过定点,并指出定点坐标.
(1)∵抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(
p
2
,0),
∴过F且斜率为
3
直线方程为y=
3
(x-
p
2
)

联立
y2=2px
y=
3
(x-
p
2
)
,得12x2-20px+3p2=0,
解得x=
3
2
p
,或x=
p
6

∵直线与抛物线在x轴上方的交点为M,
∴M(
3
2
p,
3
p
),
∵过M作y轴的垂线,垂足为N,O为坐标原点,四边形OFMN的面积为4
3

1
2
(
p
2
+
3p
2
3
p
=4
3
,解得p=2,
∴抛物线的方程y2=4x.
(2)证明:①当直线PQ的斜率不存在时,设直线PQ的方程为y=x0,x0>0,
则x0=2
x0
,解得x0=4,直线PQ过定点(4,0).
②当直线PQ的斜率存在时,假设直线直线PQ过定点(4,0),则设直线PQ的方程为y=k(x-4),
联立
y2=4x
y=k(x-4)
,得k2x2-(8k2+4)x+16k2=0,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=8+
4
k2
,x1x2=16,
∴y1+y2=k(x1-4)+k(x2-4)=k(8+
4
k2
)-8k=
4
k

y1y2=k(x1-4)•k(x2-4)
=k2[x1x2-4(x1+x2)+16]
=k2[16-4(8+
4
k2
)+16]=-16.
∴|PQ|=
(x1-x2)2+(y1-y2)2

=
[(x1+x2)2-4x1x2]+[(y1+y2)2-4y1y2]

=
(8+
4
k2
)2-4×16+(
4
k
)2-4×(-16)

=2
4
k4
+
20
k2
+16

∵线段PQ的中点A(4+
2
k2
2
k
),
∴|AO|=
(4+
2
k2
)2+(
2
k
)2
=
4
k4
+
20
k2
+16

∴以线段PQ为直径的圆恒过原点O.
即假设成立,故直线PQ恒过定点(4,0).
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若点P到点F(
1
2
,0)的距离与它到直线x+
1
2
=0的距离相等.
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(1)如果k1•k2=-
4
9
,求点A的轨迹方程,并写出此轨迹曲线的焦点坐标;
(2)如果k1•k2=
4
9
,求点A的轨迹方程,并写出此轨迹曲线的离心率;
(3)如果k1•k2=k(k≠0,k≠-1),根据(1)和(2),你能得到什么结论?(不需要证明所得结论)

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10
2
,求椭圆的方程.

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A.相交B.相切
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2
2
,F1,F2为其焦点,一直线过点F1与椭圆相交于A、B两点,且△F2AB的最大面积为
2
,求椭圆的方程.

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(Ⅱ)过点F作倾斜角为60°的直线l与轨迹C交于A(x1,y1)、B(x1,y2)两点,O为坐标原点,点M为轨迹C上一点,若向量
OM
=
OA
OB
,求λ的值.

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已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左焦点为F1(-1,0),离心率为
2
2

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