Question

已知椭圆mx²+ny²=1，直线y=x+1与该椭圆相交于P和Q两点，且OP⊥OQ，|PQ|=

10

2

，求椭圆的方程．

Answer 1

依题意，点P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）的坐标满足方程组

mx2+ny2=1 y=x+1

，
化为（m+n）x²+2nx+n-1=0，
∴x1+x2=-

2n

m+n

，x1x2=

n-1

m+n

由

OQ

⊥

OP

得x₁x₂+y₁y₂=0，∴x₁x₂+（x₁+1）（x₂+1）=0，即2x₁x₂+（x₁+x₂）+1=0，
∴

2(n-1)

m+n

-

2n

m+n

+1=0，化为m+n=2．
又由|PQ|=

10

2

，∴

10

2

=

2[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2[( -2n m+n )2- 4(n-1) m+n ]

，
把m+n=2代入整理为4n²-8n+3=0，解得n=

3

2

或

1

2

．
当n=

3

2

时，m=

1

2

；当n=

1

2

时，m=

3

2

．
故所求椭圆方程为

x2

2

+

3y2

2

=1，或

3x2

2

+

y2

2

=1．