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    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的离心率为
    		6
    3
    ，短轴一个端点到右焦点的距离为
    		3
    ．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）设直线l与椭圆C交于A、B两点，以AB弦为直径的圆过坐标原点O，试探讨点O到直线l的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．
    （1）设椭圆的半焦距为c，依题意
    c
    a
    =
    		6
    3
    a=
    		3
    ∴b=1，…．（2分）
    ∴所求椭圆方程为
    x2
    3
    +y2=1    ．…..（4分）
    （2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．
    ①当AB⊥x轴时，设AB方程为：x=m，此时A，B两点关于x轴对称，又以|AB|为直径的圆过原点，
    设A（m，m）代入椭圆方程得：m=
    		3
    2
    …．（6分）
    ②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．联立
    x2
    3
    +y2=1
    y=kx+m
    ，
    整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2-3=0，∴x1+x2=
    -6km
    3k2+1
    ，x1x2=
    3(m2-1)
    3k2+1
    ．…．（8分）
    又y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=
    3k2(m2-1)
    1+3k2
    +
    -6k2m2
    1+3k2
    +m2    =
    m2-3k2
    1+3k2
    ．
    由以|AB|为直径的圆过原点，则有
    OA
    •
    OB
    =0    ．…..（10分）
    即：x1x2+y1y2=0，故满足：
    3(m2-1)
    1+3k2
    +
    m2-3k2
    1+3k2
    =0    得：4m2=3+3k2，所以m2=
    3
    4
    (k2+1)    ．
    又点O到直线AB的距离为：d=
    |m|
    		1+k2
    =
    		3
    2
    		1+k2
    		1+k2
    =
    		3
    2
    ．
    综上所述：点O到直线AB的距离为定值
    		3
    2
    ．…（13分）
    练习册系列答案
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    相关习题

    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    若点P到点F（
    1
    2
    ，0）的距离与它到直线x+
    1
    2
    =0的距离相等．
    （1）求P点轨迹方程C，
    （2）A点是曲线C上横坐标为8且在X轴上方的点，过A点且斜率为1的直线l与C的另一个交点为B，求C与l所围成的图形的面积．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：填空题

    已知点P为抛物线y2=2x上的动点，则点P到直线y=x+2的距离的最小值为______．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知抛物线C1：y=x2，F为抛物线的焦点，椭圆C2：
    x2
    2
    +
    y2
    a2
    =1    （0＜a＜2）；
    （1）若M是C1与C2在第一象限的交点，且|MF|=
    3
    4
    ，求实数a的值；
    （2）设直线l：y=kx+1与抛物线C1交于A，B两个不同的点，l与椭圆C2交于P，Q两个不同点，AB中点为R，PQ中点为S，若O在以RS为直径的圆上，且k2＞
    1
    2
    ，求实数a的取值范围．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    设椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    过点（1，
    3
    2
    ），F1，F2分别为椭圆C的左右焦点，且离心率e=
    1
    2

    （1）求椭圆C的方程．
    （2）已知A为椭圆C的左顶点，直线l过右焦点F2与椭圆C交于M，N两点，若AM、AN的斜率k1，k2满足k1+k2=-
    1
    2
    ，求直线l的方程．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知点B（6，0）和点C（-6，0），过点B的直线l与过点C的直线m相交于点A，设直线l的斜率为k1，直线m的斜率为k2，
    （1）如果k1•k2=-
    4
    9
    ，求点A的轨迹方程，并写出此轨迹曲线的焦点坐标；
    （2）如果k1•k2=
    4
    9
    ，求点A的轨迹方程，并写出此轨迹曲线的离心率；
    （3）如果k1•k2=k（k≠0，k≠-1），根据（1）和（2），你能得到什么结论？（不需要证明所得结论）

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知椭圆mx2+ny2=1，直线y=x+1与该椭圆相交于P和Q两点，且OP⊥OQ，|PQ|=
    		10
    2
    ，求椭圆的方程．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上横坐标为4的点到焦点的距离为5．
    （Ⅰ）求抛物线C的方程；
    （Ⅱ）设直线y=kx+b与抛物线C交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），且|y1-y2|=a（a为正常数）．过弦AB的中点M作平行于x轴的直线交抛物线C于点D，连接AD、BD得到△ABD．
    （i）求实数a，b，k满足的等量关系；
    （ii）△ABD的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不是定值，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    若椭圆的左、右焦点分别为、，抛物线的焦点为．若，则此椭圆的离心率为（　　）
    A．      B．       C．     D．

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