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如图,已知抛物线C:y2=2px(p>0)上横坐标为4的点到焦点的距离为5.
(Ⅰ)求抛物线C的方程;
(Ⅱ)设直线y=kx+b与抛物线C交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),且|y1-y2|=a(a为正常数).过弦AB的中点M作平行于x轴的直线交抛物线C于点D,连接AD、BD得到△ABD.
(i)求实数a,b,k满足的等量关系;
(ii)△ABD的面积是否为定值?若为定值,求出此定值;若不是定值,请说明理由.
(Ⅰ)依题意:4+
1
2
p=5
,解得p=2.
∴抛物线方程为y2=4x.
(Ⅱ)(i)由方程组
y=kx+b
y2=4x
消去x得:ky2-4y+4b=0.(※)
依题意可知:k≠0.
由已知得y1+y2=
4
k
,y1y2=
4b
k

由|y1-y2|=a,得(y1+y2)2-4y1y2=a2
依题意:4+
1
2
p=5
,解得p=2.
∴抛物线方程为y2=4x.
(Ⅱ)(i)由方程组
y=kx+b
y2=4x
消去x得:ky2-4y+4b=0.(※)
依题意可知:k≠0.
由已知得y1+y2=
4
k
,y1y2=
4b
k

由|y1-y2|=a,得(y1+y2)2-4y1y2=a2,即
16
k2
-
16b
k
=a2
,整理得16-16kb=(ak)2
所以(ak)2=16(1-kb)
(ii)由(i)知AB中点M(
2-bk
k2
2
k
),所以点D(
1
k2
2
k
),
依题意知S△ABD=
1
2
DM•|y1-y2|

=
1
2
|1-bk|
k2
•a

又因为方程(※)中判别式△=16-16kb>0,得1-kb>0.
所以S△ABD=
1
2
×
1-kb
k2
a
,由(Ⅱ)可知1-kb=
(ak)2
16

所以S△ABD=
1
2
×
a2
16
×a=
a3
32

又a为常数,故△ABD的面积为定值.
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已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为
6
3
,短轴一个端点到右焦点的距离为
3

(1)求椭圆C的方程;
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3
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3

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x2
a2
-
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=1
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OD
=
OF
+
OP
(O为原点)且
AB
AD
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