Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦点为F₁（-1，0），离心率为

2

2

．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设过点F且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G的横坐标的取值范围．

Answer 1

（1）因为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦点为F₁（-1，0），
所以c=1，
又因为离心率为

2

2

，
所以a=

2

所以b²=1
所以椭圆的方程为

x2

2

+y2=1，
（2）设直线AB的方程为y=k（x+1）（k≠0），
代入

x2

2

+y2=1，整理得
（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0．
∵直线AB过椭圆的左焦点F，
∴方程有两个不等实根．
记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点N（x₀，y₀），
则 x1+x2=-

4k2

2k2+1

，
∴AB的垂直平分线NG的方程为 y-y0=-

1

k

(x-x0)．
令y=0，得 xG=x0+ky0=-

2k2

2k2+1

+

k2

2k2+1

=-

k2

2k2+1

=-

1

2

+

1

4k2+2

．
∵k≠0，∴-

1

2

＜xG＜0，
∴点G横坐标的取值范围为 (-

1

2

，0)．