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已知中心在原点的双曲线C的离心率为
2
3
3
,一条准线方程为x=
3
2

(1)求双曲线C的标准方程
(2)若直线l:y=kx+
2
与双曲线C恒有两个不同的交点A和B,且
OA
OB
>2
(其中O为原点),求k的取值范围.
(1)∵
c
a
=
2
3
3
a2
c
=
3
2

∴a=
3
,c=2,
∴双曲线方程为
x2
3
-y2
=1.(4分)
(2)
y=kx+
2
x2
3
-y2=1

∴(1-3k2)x2-6
2
kx-9=0,
由直线l与双曲线交于不同的两点得
1-3k2≠0
△=(6
2
k)
2
+36(1-3k2)
=36(1-k2)=0,
即k2
1
3
,且k2<1①(6分)
x1+x2=
6
2
k
1-3k2
x1x2=
-9
1-3k2

OA
OB
>2,得x1x2+y1y2>2,
x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+
2
)(kx2+
2)

=(k2+1)x1x2+
2
k(x1+x2)+2

=
3k2+7
3k2-1
.(8分)
于是
3k2+7
3k2-1
>2,即
3k2-9
3k2-1
<0

1
3
k2
<3,②(10分)
由①②得
1
3
k2
<1,
k∈(-1,-
3
3
)∪(
3
3
,1)
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆的离心率为
2
2
,F1,F2为其焦点,一直线过点F1与椭圆相交于A、B两点,且△F2AB的最大面积为
2
,求椭圆的方程.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,M是抛物线y2=x上的一个定点,动弦ME、MF分别与x轴交于不同的点A、B,且|MA|=|MB|.证明:直线EF的斜率为定值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的两个焦点为F1,F2,点P在椭圆C上,且PF1⊥F1F2,|PF1|=
4
3
,|PF2|=
14
3

(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若直线l过点M(-2,1),交椭圆C于A,B两点,且M恰是A,B中点,求直线l的方程.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左焦点为F1(-1,0),离心率为
2
2

(1)求椭圆的标准方程;
(2)设过点F且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A,B两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点G,求点G的横坐标的取值范围.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知直线l:y=3x+2过抛物线y=ax2(a>0)的焦点.
(1)求抛物线方程;
(2)设抛物线的一条切线l1,若l1l,求切点坐标.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,过右焦点F且斜率为
2
的直线l交椭圆E于两点A,B,若以原点为圆心,
6
3
为半径的圆与直线l相切
(1)求焦点F的坐标;
(2)以OA,OB为邻边的平行四边形OACB中,顶点C也在椭圆E上,求椭圆E的方程.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

附加题:已知半椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(x≥0)
与半椭圆
y2
b2
+
x2
c2
=1(x≤0)
组成的曲线称为“果圆”,其中a2=b2+c2,a>b>c>0,F0、F1、F2是对应的焦点.
(1)(文)若三角形F0F1F2是边长为1的等边三角形,求“果圆”的方程.
(2)(理)当|A1A2|>|B1B2|时,求
b
a
的取值范围.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知直线y=x-2与抛物线y2=4x交于A、B两点,则|AB|的值为(  )
A.2
6
B.4
6
C.2
3
D.4
3

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