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已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆的离心率为
2
2
,F1,F2为其焦点,一直线过点F1与椭圆相交于A、B两点,且△F2AB的最大面积为
2
,求椭圆的方程.
由e=
2
2
a:b:c=
2
:1:1
,所以椭圆方程设为x2+2y2=2c2
设直线AB:x=my-c,由
x=my-c
x2+2y2=2c2
得:(m2+2)y2-2mcy-c2=0
∴△=4m2c2+4c2(m2+2)=4c2(2m2+2)=8c2(m2+1)>0
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1,y2是方程的两个根
由韦达定理得
y1+y2=
2mc
m2+2
y1y2=-
c2
m2+2
,所以|y1-y2|=
(y1+y2)2-4y1y2
=
2
2
c
m2+1
m2+2

S△ABF2=
1
2
|F1F2||y1-y2|=c•2
2
c
m2+1
m2+2
=
2
2
c2
m2+1
+
1
m2+1
≤2
2
c2
1
2
=
2
c2

当且仅当m=0时,即AB⊥x轴时取等号
2
c2=
2
,c=1

∴所求椭圆方程为
x2
2
+y2=1
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已知动点P(x,y)满足,
x2+y2-4x+6y+13
+
x2+y2+6x+4y+13
=
26
,则
y-1
x-3
取值范围(  )
A.(-∞,
1
2
]∪[4,+∞)
B.(-∞,
1
4
]∪[2+∞)
C.[
1
2
,4]
D.[
1
4
,2]

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椭圆mx2+ny2=1与直线y=1-x交于M、N两点,过原点与线段MN中点的直线的斜率为
2
2
,则
m
n
的值为(  )
A.
2
2
B.
2
2
3
C.
9
2
2
D.
2
3
27

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知双曲线的两条渐近线方程是y=x和y=-x,且过点D(
2
3
)
.l1,l2是过点P(-
2
,0)
的两条互相垂直的直线,且l1,l2与双曲线各有两个交点,分别为A1,B1和A2,B2
(1)求双曲线的方程;
(2)求l1斜率的范围
(3)若|A1B1|=
5
|A2B2|
,求l1的方程.

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已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过F且斜率为
3
直线与抛物线在x轴上方的交点为M,过M作y轴的垂线,垂足为N,O为坐标原点,若四边形OFMN的面积为4
3

(1)求抛物线的方程;
(2)若P,Q是抛物线上异于原点O的两动点,且以线段PQ为直径的圆恒过原点O,求证:直线PQ过定点,并指出定点坐标.

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已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,焦距为2c;若以F2为圆心,b-c为半径作圆F2,过椭圆上任一点P(x0,y0)作此圆的切线,切点为T,且|PT|的最小值不小于
3
2
(a-c).
(Ⅰ)证明:|PF2|的最小值为a-c;
(Ⅱ)求椭圆的离心率e的取值范围;
(Ⅲ)若椭圆的短半轴长为1,圆F2与x轴的右交点为Q,过点Q作斜率为2的直线l与椭圆交于A、B两点,若OA⊥OB,求椭圆的方程.

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2
3
3
,一条准线方程为x=
3
2

(1)求双曲线C的标准方程
(2)若直线l:y=kx+
2
与双曲线C恒有两个不同的交点A和B,且
OA
OB
>2
(其中O为原点),求k的取值范围.

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