Question

已知函数f（x）=

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3

x³+x²+（2a-1）x+a²-a+1若函数f（x）在（1，3]上存在唯一的极值点．则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：求出函数的导数，由已知条件结合零点存在定理，可得f′（1）•f′（3）＜0或f′（3）=0，解出不等式求并集即可．

解答： 解：∵f（x）=

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3

x³+x²+（2a-1）x+a²-a+1，
∴f′（x）=x²+2x+2a-1，
∵函数f（x）在（1，3]上存在唯一的极值点，
∴f′（1）•f′（3）＜0或f′（3）=0，
∴（1+2+2a-1）（9+6+2a-1）＜0或9+6+2a-1=0，
即有（a+1）（a+7）＜0或a=-7
解得-7≤a＜-1．
故答案为：[-7，-1）．

点评：本题考查导数的运用：求函数的极值，考查函数的零点存在定理，注意导数为0与函数的极值的关系，属于易错题，也是中档题．