Question

如图，四边形ABCD是矩形，BC⊥平面ABE，F是CE上一点，BF⊥平面ACE，点M，N分别是CE，DE的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面ABE；
（Ⅱ）求证：AE⊥BE．

Answer 1

证明：（Ⅰ）∵点M，N分别是CE，DE的中点，
∴MN是△CDE的中位线，∴MN∥CD．
∵四边形ABCD是矩形，∴CD∥AB．
∴MN∥AB．
∵AB?平面ABE，MN?平面ABE，
∴MN∥平面ABE．…..（6分）
（Ⅱ）∵BF⊥平面ACE，AE?平面ACE，∴BF⊥AE．
∵BC⊥平面ABE，AE?平面ACE，∴BC⊥AE．
∵BF∩BC=B，BF?平面BCE，BC?平面BCE，
∴AE⊥平面BCE．
∴AE⊥BE．…..（13分）
分析：（Ⅰ）利用三角形中位线的性质，可得MN∥CD，根据四边形ABCD是矩形，可得CD∥AB，从而可得MN∥AB，利用线面平行的判定可得MN∥平面ABE；
（Ⅱ）利用线面垂直的性质，可得BF⊥AE，BC⊥AE，利用线面垂直的判定，可得AE⊥平面BCE，从而可得AE⊥BE．
点评：本题考查线面平行的判定，考查线面垂直的判定与性质，掌握线面平行，线面垂直的判定与性质是关键．