Question

7．已知梯形ABCD的各顶点依次在半径为1的圆上，下底AB是直径，$\overrightarrow{AC}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AD}$，其中λ，μ∈R，则λ+μ的取值范围是（1，2）．

Answer 1

分析 以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立坐标系，设∠COB=α（α∈（0，$\frac{π}{2}$）），利用$\overrightarrow{AC}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AD}$，求出λ+μ=cosα+1，即可求出λ+μ的取值范围．

解答 解：以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立坐标系，设∠COB=α（α∈（0，$\frac{π}{2}$）），则
A（-1，0），B（1，0），C（cosα，sinα），D（-cosα，sinα），
∵$\overrightarrow{AC}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AD}$，
∴（cosα+1，sinα）=λ（2，0）+μ（-cosα+1，sinα），
∴2λ+μ（-cosα+1）=cosα+1，μ=1
∴λ=cosα，
∴λ+μ=cosα+1∈（1，2）．
故答案为：（1，2）．

点评 本题考查平面向量基本定理的运用，考查坐标法，考查学生分析解决问题的能力，正确建立坐标系是关键．