Question

求所有使得下列命题成立的正整数n（n≥2）：对于任意实数x₁，x₂，…，x_n，当

n

i=1

xi=0时，有 

n

i=1

xixi+1≤0 （ 其中x_n+1=x₁）．

Answer 1

分析：当n=2，n=3，n=4时，代入可判断

n

i=1

xixi+1≤0是否成立，当当n≥5时，令x₁=x₂=1，x₄=-2，x₃=x₅=x₆+…+x_n=0，

n

i=1

xi=0，但是

n

i=1

xixi+1=1＞0，故对于n≥5命题不成立．

解答：解：当n=2时，由x₁+x₂=0，得x₁x₂+x₂x₁=-2x₁²≤0．
所以n=2时命题成立．…（3分）
当n=3时，由x₁+x₂+x₃=0，得
x₁x₂+x₂x₃+x₃x₁=

(x1+x2+x3)2-( x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 )

2

=

-( x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 )

2

≤0．
所以n=3时命题成立．…（6分）
当n=4时，由x₁+x₂+x₃+x₄=0，得
x₁x₂+x₂x₃+x₃x₄+x₄x₁=（x₁+x₃）（x₂+x₄）=-（x₁+x₃）²≤0．
所以n=4时命题成立．                            …（9分）
当n≥5时，令x₁=x₂=1，x₄=-2，x₃=x₅=x₆+…+x_n=0
则

n

i=1

xi=0．
但是，

n

i=1

xixi+1=1＞0，故对于n≥5命题不成立．
综上可知，使命题成立的自然数是 2，3，4．…（15分）

点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，本题的难点在于n≥5，举出反例x₁=x₂=1，x₄=-2，x₃=x₅=x₆+…+x_n=0