Question

3．设x₁，x₂是函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$ax²+2bx+c的两个极值点．若x₁∈（-2，-1），x₂∈（-1，0），则2a+b的取值范围是（2，7）．

Answer 1

分析 求导函数，利用f（x）的两个极值点分别是x₁，x₂，x₁∈（-2，-1），x₂∈（-1，0），建立不等式，利用平面区域，即可求2a+b的取值范围．

解答 解：由题意，f′（x）=x²+ax+2b．
∵f（x）的两个极值点分别是x₁，x₂，x₁∈（-2，-1），x₂∈（-1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（-2）=4-2a+2b＞0}\\{f′（-1）=1-a+2b＜0}\\{f′（0）=2b＞0}\end{array}\right.$，
对应的平面区域如图所示：

三个顶点坐标为（1，0），（2，0），（3，1），
则在（1，0）处，2a+b2，在（3，1）处，2a+b=7，
∴2a+b的取值范围是（2，7）．
故答案为：（2，7）．

点评 本题考查导数知识的运用，考查平面区域的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．