Question

13．在△ABC中，已知a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足$\frac{2b+c}{a}$=-$\frac{cosC}{cosA}$．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积为2$\sqrt{3}$，其外接圆半径R=$\frac{2\sqrt{21}}{3}$，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理，结合和角的正弦公式，即可得出结论．
（Ⅱ）利用三角形面积公式可求bc=8，由已知结合正弦定理可求a，进而利用余弦定理，可求b+c的值，即可得解．

解答 解：（Ⅰ）∵$\frac{2b+c}{a}$=-$\frac{cosC}{cosA}$，
∴利用正弦定理可得：-2sinBcosA-sinCcosA=sinAcosC，
化为：-2sinBcosA=sin（C+A）=sinB，
∵sinB≠0，
∴cosA=-$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{2π}{3}$．
（Ⅱ）∵A=$\frac{2π}{3}$，
∴△ABC的面积为2$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×bc×\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得：bc=8，
∵外接圆半径R=$\frac{2\sqrt{21}}{3}$，
∴由正弦定理可得：$\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{4\sqrt{21}}{3}$，解得：a=2$\sqrt{7}$，
∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，可得：28=b²+c²+bc=（b+c）²-bc=（b+c）²-8，解得：b+c=6，
∴△ABC的周长为：a+b+c=2$\sqrt{7}$+6．

点评 本题主要考查了正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，和角的正弦公式在解三角形中的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．