Question

8．已知曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}$（t为参数），曲线C₂：$\frac{x^2}{9}$+$\frac{y^2}{2}$=1．
（Ⅰ）写出C₁的普通方程与C₂的参数方程；
（Ⅱ）过坐标原点O做C₁的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程（以α为参数），并指出它是什么曲线．

Answer 1

分析 （Ⅰ）曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}$（t为参数），消去参数t可得普通方程，利用平方关系可得曲线C₂的参数方程．（Ⅱ）由曲线C₁的普通方程：xsinα-ycosα-sinα=0，设A（sin²α，-sinαcosα）故当α变化时，P点轨迹的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}si{n}^{2}α}\\{y=-\frac{1}{2}sinαcosα}\end{array}\right.$（α为参数），利用倍角公式与平方关系化简可得P点轨迹的普通方程．

解答 解：（Ⅰ）曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}$（t为参数），消去参数t可得普通方程：xsinα-ycosα-sinα=0，
由曲线C₂：$\frac{x^2}{9}$+$\frac{y^2}{2}$=1可得参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=\sqrt{2}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．
（Ⅱ）由曲线C₁的普通方程：xsinα-ycosα-sinα=0，设A（sin²α，-sinαcosα），
故当α变化时，P点轨迹的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}si{n}^{2}α}\\{y=-\frac{1}{2}sinαcosα}\end{array}\right.$（α为参数），P点轨迹的普通方程为$（x-\frac{1}{4}）^{2}$+y²=$\frac{1}{16}$．
故P点轨迹是圆心为$（\frac{1}{4}，0）$，半径为$\frac{1}{4}$的圆．

点评 本题考查了参数方程与普通方程的互化、直线参数方程的应用、中点坐标公式、倍角公式与平方关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．