Question

2．已知函数f（x）=a-$\frac{b}{x}$-lnx（a，b∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）在[1，e]上单调递增（e为自然对数的底数），求b的取值范围；
（Ⅱ）若b=1，是否存在实数a使得f（x）恰有两个不同零点，若存在，求出a的取值集合；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，问题转化为b-x≥0在[1，e]恒成立，求出b的范围即可；
（Ⅱ）求出f（x）的导数，得到f（x）的单调区间，求出f（x）的最大值，从而求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=a-$\frac{b}{x}$-lnx，（x＞0），f′（x）=$\frac{b-x}{{x}^{2}}$，
若函数f（x）在[1，e]上单调递增，
则b-x≥0在[1，e]恒成立，
∴b≥e；
（Ⅱ）b=1时，f（x）=a-$\frac{1}{x}$-lnx，（x＞0），f′（x）=$\frac{1-x}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，
∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
∴f（x）_max=f（1）=a-1，
若存在实数a使得f（x）恰有两个不同零点，
则a-1＞0，解得：a＞1．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．