Question

7．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，直线l：y=kx-2与椭圆C交于A，B两点，点P（0，1），且|PA|=|PB|，则直线l的方程为x-y-2=0或x+y+2=0．

Answer 1

分析 设出A，B的坐标，得到AB中点E的坐标，联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系把E的坐标用含有k的代数式表示，结合|PA|=|PB|，得PE⊥AB，转化为斜率的关系列式求得k值，则直线方程可求．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则AB的中点为E（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}，\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-2}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=9}\end{array}\right.$，得（1+3k²）x²-12kx+3=0，则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{12k}{1+3{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{3}{1+3{k}^{2}}$，
∵直线与椭圆有两个不同的交点，∴△=144k²-12（1+3k²）＞0，解得k²$＞\frac{1}{9}$．
而${y}_{1}+{y}_{2}=k（{x}_{1}+{x}_{2}）-4=k•\frac{12k}{1+3{k}^{2}}-4=-\frac{4}{1+3{k}^{2}}$，
∴E点的坐标为（$\frac{6k}{1+3{k}^{2}}，-\frac{2}{1+3{k}^{2}}$）．
∵|PA|=|PB|，∴PE⊥AB，则k_PE•k_AB=-1，
∴$\frac{-\frac{2}{1+3{k}^{2}}-1}{\frac{6k}{1+3{k}^{2}}}•k=-1$，解得：k=±1，满足k²＞$\frac{1}{9}$．
∴直线方程为x-y-2=0或x+y+2=0．
故答案为：x-y-2=0或x+y+2=0．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查学生综合分析问题和解决问题的能力，考查计算能力，是中档题．