Question

19．（1）已知sin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{3}$，θ∈（$\frac{π}{2}$，π），求sinθ；
（2）已知cos（α+β）=$\frac{1}{3}$，tanα•tanβ=$\frac{1}{3}$，求cos（α-β）的值．

Answer 1

分析 （1）由已知可求范围$θ+\frac{π}{4}∈（\frac{3π}{4}，\frac{5π}{4}）$，利用同角三角函数基本关系式可求所以cos（θ+$\frac{π}{4}$），利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可计算得解．
（2）由已知及两角和的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式可得$cosαcosβ-sinαsinβ=\frac{1}{3}$，$sinαsinβ=\frac{1}{3}cosαcosβ$，联立可解得$cosαcosβ=\frac{1}{2}$，进而利用两角差的余弦函数公式即可得解．

解答 （本题满分为14分）
解：（1）因为$θ∈（\frac{π}{2}，π）$，
所以$θ+\frac{π}{4}∈（\frac{3π}{4}，\frac{5π}{4}）$，…（2分）
所以$cos（θ+\frac{π}{4}）=-\sqrt{1-{{sin}^2}（θ+\frac{π}{4}）}=-\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，…（4分）
所以$sinθ=sin[（θ+\frac{π}{4}）-\frac{π}{4}]=sin（θ+\frac{π}{4}）cos\frac{π}{4}-cos（θ+\frac{π}{4}）sin\frac{π}{4}=\frac{{4+\sqrt{2}}}{6}$．
（2）由$cos（α+β）=\frac{1}{3}$，得：$cosαcosβ-sinαsinβ=\frac{1}{3}$，①
由$tanα•tanβ=\frac{1}{3}$，得：$\frac{sinαsinβ}{cosαcosβ}=\frac{1}{3}$，即$sinαsinβ=\frac{1}{3}cosαcosβ$，②
由①、②得$cosαcosβ=\frac{1}{2}$，
所以$cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=\frac{4}{3}cosαcosβ=\frac{2}{3}$．…（14分）

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和与差的正弦函数、余弦函数公式及特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．